2011年高考一轮课时训练(理)10.5曲线与方程及轨迹问题+答案解析(通用版)

出处:老师板报网 时间:2023-03-30

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第五节 曲线与方程及轨迹问题一、选择题1.(2008年北京卷)若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为(  )A.圆   B.椭圆  C.双曲线  D.抛物线解析:把P到直线x=-1向左平移一个单位,两个距离就相等了,它就是抛物线的定义.答案:D2.一条线段AB的长为2,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则线段AB的中点的轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一分支C.圆D.椭圆答案:C3.已知|AB|=3,A、B分别在y轴和x轴上运动,O为原点,OP=OA+OB,则动点P的轨迹方程是(  )A.+y2=1B.x2+=1C.+y2=1D.x2+=1答案:A4.已知两定点F1(-1,0)、F2(1,0),且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹是(  )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段答案:D5.设过点P的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若BP=2PA,且OQ·AB=1,则P点的轨迹方程是(  )A.3x2+y2=1B.3x2-y2=1C.x2-3y2=1D.x2+3y2=1解析:由BP=2PA及A,B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知,A(x,0),B(0,3y),AB=(-x,3y),由点Q与点P关于y轴对称知,Q(-x,y),OQ=(-x,y),则OQ·AB=·(-x,y)=x2+3y2=1(x>0,y>0).答案:D二、填空题6.已知两定点A(-2,0)、B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹方程为:________.解析:设动点P的坐标为P(x,y),由|PA|=2|PB|⇒=2平方整理得:x2+y2-4x=0,故点P的轨迹方程是x2+y2-4x=0.答案:x2+y2-4x=07.一动圆与两圆⊙M:x2+y2=1和⊙N:x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为_____________________________________________________.   答案:双曲线4(x+2)2-y2=1的左支8.过抛物线x2=4y的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________________________________________________.答案:x2=2y-2三、解答题9.(2009年福建卷)已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS、BS与直线l:x=分别交于M、N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求线段MN的长度的最小值;(3)当线段MN的长度最小时,在椭圆C上是否存在这样的点T,使得△TSB的面积为?若存在,确定点T的个数,若不存在,说明理由.解析:(1)由已知得,椭圆C的左顶点为A(-2,0),上顶点为D(0,1),∴a=2,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)直线AS的斜率k显然存在,且k>0,故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而M,由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.设S(x1,y1),则(-2)·x1=得x1=,从而y1=,即S,又B(2,0),由得,∴N,故|MN|=,又k>0,∴|MN|=+≥2=.当且仅当=,即k=时等号成立.∴k=时,线段MN的长度取最小值.(3)由(2)可知,当MN取最小值时,k=,此时BS的方程为x+y-2=0,S,∴|BS|=,要使椭圆C上存在点T,使得△TSB的面积等于,只需T到直线BS的距离等于,所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l上.设直线l′:x+y+t=0,则由=,解得t=-或t=-.①当t=-时,由得5x2-12x+5=0,由于Δ=44>0,故l′与椭圆C有两个不同的支点;②当t=-时,由得5x2-20x+21=0,由于Δ=-20<0,故直线l′与椭圆没有交点.综上所述,当线段MN的长度最小时,椭圆上仅存在两个不同的点T,使△TSB的面积为.10.(2009年安徽卷)点P(x0,y0)在椭圆+=1(a>b>0)上,x0=acosβ,y0=bsinβ,0<β<.直线l2与直线l1:x+y=1垂直,O为坐标原点,直线OP的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为γ.(1)证明:点P是椭圆+=1与直线l1的唯一交点;(2)证明:tanα,tanβ,tanγ构成等比数列.证明:(1)法一:由x+y=1得y=(a2-x0x),代入椭圆+=1,得x2-x+=0.将,代入上式,得x2-2acosβ·x+a2cos2β=0,从而x=acosβ.因此,方程组有唯一解,即直线l1与椭圆有唯一交点P.法二:显然P是椭圆与l1的交点,若Q(acosβ1,bsinβ1),0≤β1<2π是椭圆与l1的交点,代入l1的方程x+y=1,得cosβcosβ1+sinβsinβ1=1,即cos(β-β1)=1,β=β1,故P与Q重合.法三:在第一象限内,由+=1可得y=,y0=,椭圆在点P处的切线斜率k=y′(x0)=-=-,切线方程为y=-(x-x0)+y0,即+=1.因此,l1就是椭圆在点P处的切线.根据椭圆切线的性质,P是椭圆与直线l1的唯一交点.(2)tanα==tanβ,l1的斜率为-,l2的斜率为tanγ==tanβ,由此得tanαtanγ=tan2β≠0,tanα,tanβ,tanγ构成等比数列.
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